已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证数列{an}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{an}中依次抽取一个无限多项的等比-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{an}的通项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-11 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足

，这样的等比数列有多少个？

试题来源：江苏期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，
∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减得

，
∴{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列
∴

（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
则

，∴2●2r﹣q=2^r﹣p+1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立原命题得证．
（3）设抽取的等比数列首项为

，公比为

，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则

又∵

∴

整理得：

①
∵n≥1 ∴2^m﹣n≤2^m﹣1．
∴

∴m≥4
∵

∴

∴m≥4
∴m=4将m=4代入①式整理得

∴n≥4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意．
综上可得满足题意的等比数列有两个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．（1）求数列{an}的通项..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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