已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(13)n-c，正数数列{bn}的首项为c，且满足：bn+1=bn1+2bn(n∈N*)．记数列{bnbn+1}前n项和为Tn．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）是否存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(13)n-c，正数数列{bn}的首项为c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn=(

1

3

)n-c，正数数列{b_n}的首项为c，且满足：bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)．记数列{b_nb_n+1}前n项和为T_n．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a1=

1

3

-c，a2=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，a3=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

（3分）
因为{a_n}为等比数列所以a₂²=a₁a₃，得c=1（4分）
经检验此时{a_n}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)
∴

1

bn+1

=

1

bn

+2(n∈N*)
数列{

1

bn

}为等差数列（7分）
又S₁=b₁=c=1，所以

1

bn+1

=

1

b1

+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=

1

2n-1

（n∈N^*）（10分）
（Ⅲ）Tn=

1

2

(

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则

1

3

×

n

2n+1

=(

m

2m+1

)2，所以n=

3m2

-2m2+4m+1

由n＞m＞1得

3m2

-2m2+4m+1

＞m且-2m²+4m+1＞0
即

2m2-m-1＞0

2m2-4m-1＜0

，所以

m＞1或m＜-

1

2

1-

6

2

＜m＜1+

6

2

因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(13)n-c，正数数列{bn}的首项为c..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：