已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2=4，S5=25，数列{bn}满足bn=1an-an+1，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2=4，S5=25，数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，且满足S₂=4，S₅=25，数列{b_n}满足b_n=

1

an-an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8?（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列的首项为a₁，公差为d，则
∵S₂=4，S₅=25，
∴

2a1+d=4

5a1+10d=25

∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1；
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8?（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8?（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．
（3）T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

?

n

2n+1

，即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．…12分
∴

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即-2m²+4m+1＞0，------------------------14分
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．--------16分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2=4，S5=25，数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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