已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=117．（I）求xn与xn+1的关系式；（II）令-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=1xn+2的直线交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=

11

7

．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=

1

xn-2

+

1

3

，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）过C：xy=1上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，则k_n=-

1

xnxn+1

∵k_n=

1

xn+2

，∴-

1

xnxn+1

=

1

xn+2

∴x_nx_n+1=-x_n+2；
（II）证明：∵b_n=

1

xn-2

+

1

3

，∴b_n+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2

xn

-2

+

1

3

=-2（

1

xn-2

+

1

3

），
∵x₁=

11

7

，∴b₁=-2
∴数列{b_n}是等比数列．
（III）由（II）知，bn=(-2)n，则c_n+1＞c_n成立等价于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即(-1)nλ＞-(

3

2

)n-1恒成立
①n为奇数时，-λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＜(

3

2

)n-1，∴λ＜1；
②n为偶数时，λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＞-

3

2

∴-

3

2

＜λ＜1
∵λ为非零整数
∴λ=-1．
∴λ=-1，对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=1xn+2的直线交..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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