已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（1）求证：数列{1an-1}为等比数列；（2）记Sn=1a1+1a2+…1an，若Sn＜100，求最大的正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数m，s，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（1）求证：数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（1）求证：数列{

1

an

-1}为等比数列；
（2）记Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，（2分）
∵

1

a1

-1≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N*)，（3分）
∴

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，
∴数列{

1

an

-1}为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1．（5分）Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=n+2(

1

3

+

1

32

++

1

3n

)=n+2?

1

3

-

1

3n+1

1-

1

3

=n+1-

1

3n

，（7分）
若S_n＜100，则n+1-

1

3n

＜100，∴n_max=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m-1）?（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵an=

3n

3n+2

，∴(

3n

3n+2

-1)?(

3m

3m+2

-1)=(

3s

3s+2

-1)2．（12分）
化简得：3^m+3ⁿ=2?3^s，（13分）
∵3m+3n≥2?

3m+n

=2?3s，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（1）求证：数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：