已知一列非零向量an满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．（Ⅰ）证明：{|an|}是等比数列；（Ⅱ）求向量an-1与an的夹角(n≥2)；（Ⅲ）设a1=(1，2)，把a1，a2，…-数学试题及答案

1、试题题目：已知一列非零向量an满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知一列非零向量

an

满足：

a1

=(x1，y1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|

an

|}是等比数列；
（Ⅱ）求向量

a

n-1与

a

n的夹角(n≥2)；
（Ⅲ）设

a

1=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

，…中所有与

a1

共线的向量按原来的顺序排成一列，记为

b1

，

b2

，…，

.

bn

，…，令

OB

n=

b1

+

b2

+…+

bn

，0为坐标原点，求点列{B_n}的极限点B的坐标．
（注：若点B_n坐标为(tn，sn)，且

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

sn=s，则称点B(t，s)为点列{Bn}的极限点．）

试题来源：潍坊模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

?

x

2n-1

+

y

2n-1

=

2

|

a

n-1|，(n≥2)，首项|

a1

|=

x

21

+

y

21

≠0，

|

an

|

a

n-1|

=

2

为常数，∴{|

an

|}是等比数列．
（II）

a

n-1?

a

n=(xn-1，yn-1)?

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

1

2

(

x

2n-1

+

y

2n-1

)=

1

2

|

a

n-1|2，cos＜

a

n-1，

a

n＞=

a

n-1?

a

n

|

a

n-1||

a

n|

=

1

2

|

a

n-1|2

|

a

n-1|?

2

|

a

n-1|

=

2

，∴

a

n-1与

a

n的夹角为

π

4

．
（III）

a1

=(x1，y1)，

a2

=

1

2

(x1-y1，x1+y1)，

a3

=

1

4

(-2y1，2x1)=

1

2

(-y1，x1)，

a4

=

1

4

(-y1-x1，-y1+x1)，

a5

=

1

8

(-2x1，-2y1)=-

1

4

(x1，y1)，∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥一般地，

b1

=

a1

，

b2

=

a5

，，

bn

=

a

4n-3，
用数学归纳法易证

b

n=

a

4n-3成立∴

b

n=(-

1

4

)n-1(x1，y1)．
设

OBn

=(tn，sn)则tn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]x1=

1-(-

1

4

)n

1-(-

1

4

)

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

tn=

4

5

；
sn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]y1=

1-(-

1

4

)n

1-(-

1

4

)

?2=

8

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

sn=

8

5

，
∴极限点B的坐标为(

4

5

，

8

5

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一列非零向量an满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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