已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*）．（I）证明数列{ann}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（II）数列{bn}满足b1=12，b2=14，对任意n∈N*，都有b2n+1=bn?bn+-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*）．（I）证明数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）证明数列{

an

n

}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}满足b1=

1

2

，b2=

1

4

，对任意n∈N^*，都有

b

2n+1

=bn?bn+2．若对任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

n+1

=

an

n

（n≥2），由a₁=1，可得a₂=2，
从而对任意 n∈N^*，

an+1

n+1

=

an

n

，又

a1

1

=1≠0，即{

an

n

}是首项公比均为1的数列，
所以

an

n

=1×1^n-1=1，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（II）在数列{b_n}中，由

b

2n+1

=bn?bn+2，知数列{b_n}是等比数列，且首项、公比均为

1

2

，
∴数列{b_n}的通项公式bn=

1

2n

（6分）
故原不等式可化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0对任意的n∈N^*，恒成立，
变形可得λ＞

n2+n-6

n2+2n

对任意的n∈N^*，恒成立，
令f（n）=

n2+n-6

n2+2n

=

n2+2n-n-6

n2+2n

=1-

n+6

n2+2n

=1-

1

n2+2n

n+6

=1-

1

(n+6)+

24

n+6

-10

，
由n+6≥7，(n+6)+

24

n+6

-10单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*）．（I）证明数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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