在数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an（n=1，2，3，…）．（I）求a1，a2，a3的值；（II）设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（III）设cn=bn?(n-n2)（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an（n=1，2，3，…）．（I）求a1，a2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）设cn=bn?(n-n2) （n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，求正整数t的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知，a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．a₁+a₂=2-a₂，a₂=

3

4

．a₁+a₂+a₃=3-a₃，a₃=

7

8

．
（II）证明：由已知可得，S_n=n-a_n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
即当n≥2时，b_n=

1

2

b_n-1，b₁=a₁-1=-

1

2

≠0
所以数列{b_n}是等比数列，其首项为-

1

2

，公比为

1

2

．
（III）由（Ⅱ）得b_n=-

1

2n

，
∴cn=bn?(n-n2)=

n2-n

2n

c_n-c_n-1=

(n+1)2-(n+1)

2n+1

-

n2-n

2n

=

n(3-n)

2n+1

∴c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞…
∴c_n有最大值c₃=c₄=

3

4

，任意n∈N^*，都有cn＜

t

5

，当且仅当

3

4

＜

t

5

即t＞

15

4

，故正整数t的最小值是4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an（n=1，2，3，…）．（I）求a1，a2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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