设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）（Ⅰ）设bn=Sn-4n，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若an+1≥an（n∈N*），求实数a取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）（Ⅰ）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠4），a_n+1=2S_n+4ⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）设b n=Sn-4n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*），求实数a取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
由此得Sn+1-4n+1=3（Sn-4n）即b_n+1=3b_n，…（2分）
∴数列{b_n}是公比为3的等比数列． …（3分）
（Ⅱ）∵bn=Sn-4n=(a-4)?3n-1，
∴Sn=4n+(a-4)?3n-1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-1+2（a-4）?3^n-2，…（6分）
n=1时，a₁=1
∴an=

3×4n-1+2(a-4)?3n-2

a，n=1

…（7分）
（Ⅲ）∵a_n+1=3×4ⁿ+2（a-4）?3^n-1，
∴a_n+1-a_n=4?3^n-2[9?(

4

3

)n-2+a-4]≥0
设f（n）=9?(

4

3

)n-2+a-4，则f（n）≥0，…（9分）
∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）
∴当n≥2时a_n+1-a_n≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a₂≥a₁等价于2a₁+4≥a₁，即a≥-4．…（13分）
综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）（Ⅰ）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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