已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点．①求实数k的取值范围；②求线段MN的中点轨迹方程；③求证：AM?AN为定值；④若O为坐标原点，且OM?ON=12，求k的值-数学试题及答案

1、试题题目：已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
①求实数k的取值范围；
②求线段MN的中点轨迹方程；
③求证：

AM

?

AN

为定值；
④若O为坐标原点，且

OM

?

ON

=12，求k的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，化简得3k²-8k+3=0，解得：k=

4±

7

3

，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：

4-

7

3

＜k＜

4+

7

3

；
②把直线方程与圆方程联立得

y=kx+1

(x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁和x₂为（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x=

x1+x2

2

=

2(1+k)

1+k2

，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k²）y²-（2+4k+6k²）y+12k²+4k+1=0，
得到纵坐标y=

y1+y2

2

=

1+2k+3k2

1+k2

，
则线段MN的中点轨迹方程为：

x=

2(1+k)

1+k2

y=

1+2k+3k2

1+k2

；
③

AM

=（x₁，y₁-1），

AN

=（x₂，y₂-1），所以

AM

?

AN

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=7为常数．
④

OM

?

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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