已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；（Ⅱ）对n∈N*，有，，求：Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1及；（Ⅲ）求F（n）=an-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且

x₁，x_2^∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对

n∈N*，有

，

，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及

；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

试题来源：安徽省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=﹣1，
再令x₁=x，x₂=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1
∴f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，
所以f（n）=2n﹣1，

，

，
∴

又

，

①

②
由①﹣②得出

=

计算整理得出得

（3）∵

∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
∴F（n）的最小值为

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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