已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．（Ⅰ）求OA?OB的值；（Ⅱ）求点Q的纵坐标；（Ⅲ）证明：|QF|2=|AF|?|BF|．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线x²=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．
（Ⅰ）求

OA

?

OB

的值；
（Ⅱ）求点Q的纵坐标；
（Ⅲ）证明：|

QF

|2=|

AF

|?|

BF

|．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵F(0，

p

2

)，
∴设直线l的方程为y=kx+

p

2

．
由

y=kx+

p

2

x2=2py

可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）
y1?y2=(kx1+

p

2

)?(kx2+

p

2

)=k2x1x2+

kp

2

(x1+x2)+

p2

4

=-k2p2+k2p2+

p2

4

=

p2

4

（4分）
∴

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=-

3

4

p2．（5分）
（Ⅱ）由x²=2py，可得y=

x2

2p

，
∴y′=

x

p

．
∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

．
∴在点A处的切线方程为y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x12

2p

．（7分）
同理在点处B的切线方程为y=

x2

p

x-

x22

2p

．
解方程组

y=

x1

p

x-

x12

2p

y=

x2

p

x-

x22

2p

可得

x=pk

y=-

p

2

.

即点Q的纵坐标为-

p

2

．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，Q(pk，-

p

2

)，
∴|

QF

|2=(0-pk)2+(

p

2

+

p

2

)2=(1+k2)p2，（11分）
又y1+y2=kx1+

p

2

+kx2+

p

2

=k(x1+x2)+p=p(1+2k2)，
∴|

AF

|?|

BF

|=(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=y1y2+

p

2

(y1+y2)+

p2

4

=

p2

4

+

p

2

?(1+2k2)p+

p2

4

=（1+k²）p²．
∴|

QF

|2=|

AF

|?|

BF

|．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：