抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足

BM

=λ

MA

，证明线段PM的中点在y轴上．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为(0，

1

4a

)，准线方程为y=-

1

4a

．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₁（x-x₀）．
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)①

y=ax2②

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③
又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)④

y=ax2⑤

的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，则x2=-

λ

a

k1-x0．　　⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由

BM

-λ

MA

，则xM=

x2+λx1

1+λ

．
将③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴线段PM的中点在y轴上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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