已知两圆C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=22．（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点-数学试题及答案

1、试题题目：已知两圆C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

已知两圆C₁：x²+y²-2x=0，C₂：（x+1）²+y²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且|PC₁|+|PC₂|=2

2

．
（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：河东区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）两圆的圆心坐标分别为C₁（1，0），C₂（-1，0），
∵|PC₁|+|PC₂|=2

2

＞2=|C₁C₂|，
∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C₁（1，0）和C₂（-1，0）为焦点，长轴长为2a=2

2

的椭圆，
所以a=

2

，c=1，b=

a2-c2

=

2-1

=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，即动点P的轨迹M的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设存在这样的直线l满足条件，
当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．
当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
由方程组

x2

2

+y2=1

y=k(x-2)

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0①，
依题意△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即-2k²+1＞0，解得-

2

＜k＜

2

，
当-

2

＜k＜

2

时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为N（x₀，y₀），
方程①的解为x1=

8k2+

△

4k2+2

，x2=

8k2-

△

4k2+2

，则x0=

x1+x2

2

=

4k2

2k2+1

，
∴y₀=k（x₀-2）=k（

4k2

2k2+1

-2）=

-2k

2k2+1

，
要使|C₁C|=|C₁D|，必须有C₁N⊥l，即k?kC1N=-1，
∴k?

-2k

2k2+1

-0

4k2

2k2+1

-1

=-1，化简得0=-1，显然不成立；
所以不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两圆C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆与圆的位置关系”。

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