已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）（I）若f（x）能表示成..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

试题来源：铁岭模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：四种命题及其相互关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴

g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|

-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|

解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=(x+

a+1

2

)2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，
∴(a+1)2≥-

a+1

2

，解得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
∴a＞-

3

2

（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵a＞-

3

2

，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+

1

(a+2)ln10

＞0．
∴函数v（a）在区间[-

3

2

，+∞)上为增函数．
又∵v(-

3

2

)=3-lg2，∴当a＞-

3

2

时，v（a）＞v(-

3

2

)，即f（2）＞3-lg2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）（I）若f（x）能表示成..”的主要目的是检查您对于考点“高中四种命题及其相互关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中四种命题及其相互关系”。

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