已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，OM=4OF．（1）求椭圆的离心率e；（2）过左焦点F且斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，若OA?OB=-2，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，

OM

=4

OF

．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为

2

的直线与椭圆交于A、B两点，若

OA

?

OB

=-2，求椭圆的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，F(-c，0)，M(-

a2

c

，0)．
由

OM

=4

OF

，有(-

a2

c

，0)=4(-c，0)．（3分）
则有

a2

c

=4c，即

c2

a2

=

1

4

，∴e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）设直线AB的方程为y=

2

(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由

3x2+4y2=12c2

y=

2

(x+c).

消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 x1+x2=-

16c

11

，x1x2=-

4

11

c2．
∵

AB

?

OB

=(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2，
且y₁?y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即-

12

11

c2-

32

11

c2+2c2=-2，∴c²=1．则a²=4，b²=2．
椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：