已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=3x，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=3x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

3

x，两条准线间的距离为1，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM?k_PN的值．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：

b

a

=

3

2a2

c

=1

a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3．
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N（-x₀，-y₀）．
设P（x_P，y_P），
则kPM?kPN=

yP-y0

xP-x0

?

yP+y0

xP+x0

=

yP2-y02

xP2-x02

，
又x02-

y02

3

=1，
∴y₀²=3x₀²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴kPM?kPN=

3xP2-3-3x02+3

xP2-x02

=3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=3x..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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