双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为12，过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为32，（1）求该双曲线的方程；（2）是否存在直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于-数学试题及答案

1、试题题目：双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为12，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为

1

2

，过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，
（1）求该双曲线的方程；
（2）是否存在直线y=kx+5 （k≠0）与双曲线交于相异两点C，D，使得 C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，若存在，求出直线方程；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为焦点到其相应准线的距离为

1

2

，所以

b2

c

=

1

2

；
又因为过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

；
可设直线方程为

x

a

-

y

b

=1，
由点到直线的距离公式得

ab

a2+b2

=

3

2

，解得a=

3

，b=1，
所以双曲线方程为

x2

3

-y2=1
（2）假设存在直线y=kx+5（k≠0，）与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上
∴

y=kx+5

x2

3

-y2=1

得（1-3k²）x²-30kx-78=0；可得

△＞o

x1+x2=

30k

1-3k2

y1+y2=

30k2

1-3k2

+10

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，
所以直线CD的中点坐标为M(

15k2

1-3k2

，

5

1-3k2

)
因为AM⊥CD，所以

5

1-3k2

+1

15k

1-3k2

=-

1

k

，解得k=±

7

，
所以直线方程为：y=±

7

x+5

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为12，..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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