已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC+2PQ)?(PC-2PQ)=0．（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线l：y=kx+1与（1-数学试题及答案

1、试题题目：已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PC

+2

PQ

)?(

PC

-2

PQ

)=0．
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P的坐标为（x，y），由(

PC

+2

PQ

)?(

PC

-2

PQ

)=0
得|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，…（3分）
化简得

x2

4

-

y2

12

=1．
∴P点在双曲线上，其方程为

x2

4

-

y2

12

=1．…（4分）
（2）设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

y=kx+1

x2

4

-

y2

12

=1

得：（3-k²）x²-2kx-13=0，…（6分）
∴x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=-

13

3-k2

，
∵AB与双曲线交于两点，
∴△＞0，即4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得-

13

2

＜k＜

13

2

．…（8分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD，
∴k_AD?k_BD=-1，…（10分）
即

y1+2

x1

?

y2+2

x2

=-1，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0?（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0?(k2+1)(-

13

3-k2

)+3k?

2k

3-k2

+9=0
解得k2=

7

8

，∴k=±

14

4

∈(-

13

2

，

13

2

)，故存在k值为±

14

4

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：