已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

试题来源：丰台区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0-

2

|

k2+1

?k=±1
可设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
又双曲线C的一个焦点为（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求双曲线C的方程为 x²-y²=1
（Ⅱ）由

y=mx+1

x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依题意

4m2+8(1-m2)＞0

2m

1-m2

＜0

-2

1-m2

＞0

?1＜m＜

2

线段AB的中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直线l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m-

1

4

)2+

17

8

因为m∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以直线l在y轴上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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