设直线l：y=x+m，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，双曲线的离心率为3，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP?OQ=-3，PR=3RQ.（1）证明：4a2=m2+3；（2）求双曲线E的方程；（-数学试题及答案

1、试题题目：设直线l：y=x+m，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，双..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

设直线l：y=x+m，双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线的离心率为

3

，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且

OP

?

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且

MF

=λ

FN

，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵双曲线的离心率为

3

，
∴e=

c

a

=

3

，从而b²=2a²．
双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=x+m

2x2-y2=2a2

得：x²-2mx-m²-2a²=0
则有x₁+x₂=2m，x₁?x₂=-m²-2a²从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=2m²-2a²∵

OP

?

OQ

=-3，∴x1x2+y1y2=-3
则-m²-2a²+2m²-2a²=-3，即4a²=m²+3；
（2）∵R(0，m)，

PR

=3

RQ

，
∴（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
∴

-x1=3x2

m-y1=3(y2-m)

，
由

-x1=3x2

x1+x2=2m

x1?x2=-m2-2a2

得m²=a²
由

m2=a2

4a2=m2+3

得a²=1则b²=2
故双曲线的方程为x2-

y2

2

=1；
（3）易知F(

3

，0)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MF

=λ

FN

得：

3

-x1=λ(x2-

3

)

-y1=λy2

设直线MN的方程为x=ty+

3

．
由

x=ty+

3

2x2-y2=2

得：(2t2-1)y2+4

3

ty+4=0
则

y1+y2=-

4

3

t

2t2-1

y1?y2=

4

2t2-1

，
消去y₁，y₂得：

-λ

(1-λ)2

=

2t2-1

12t2

∵

2t2-1

12t2

=

1

6

-

1

12t2

＜

1

6

，
∴

-λ

(1-λ)2

＜

1

6

，
解得λ＞-2+

3

或λ＜-2-

3

当t=0时，可求出λ=1．
当直线MN与x轴重合时，
可求出λ=-2+

3

或λ=-2-

3

故λ的取值范围是(-∞，-2-

3

]∪[-2+

3

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设直线l：y=x+m，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，双..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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