双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为35的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为

3

5

的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

x2

a2

-

y2

b2

=1

y=

3

5

(x-c) (其中c=

a2+b2

)

整理得（5b²-3a²）x²+6a²cx-（3a²c²+5a²b²）=0 ①．
若5b²-3a²=0，则

b

a

=

3

5

，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b²-3a²≠0．
设方程①的两个根为x₁，x₂，则有
x1+x2=

6a2c

5b2-3a2

②，x1x2=-

3a2c2+5a2b2

5b2-3a2

③，
由于P、Q在直线y=

3

5

（x-c）上，可记为
P（x₁，

3

5

（x₁-c）），Q（x₂，

3

5

（x₂-c））．
由OP⊥OQ得

3

5

(x1-c)

x1

?

3

5

(x2-c)

x2

=-1，
整理得3c（x₁+x₂）-8x₁x₂-3c²=0 ④．
将②，③式及c²=a²+b²代入④式，并整理得
3a⁴+8a²b²-3b⁴=0，即（a²+3b²）（3a²-b²）=0．
因为a²+3b²≠0，解得b²=3a²，
所以c=

a2+b2

=2a．
由|PQ|=4，得（x₂-x₁）²+[

3

5

（x₂-c）-

3

5

（x₁-c）]²=4²．
整理得（x₁+x₂）²-4x₁x₂-10=0 ⑤．
将②，③式及b²=3a²，c=2a代入⑤式，解得a²=1．
将a²=1代入b²=3a²得b²=3．
故所求双曲线方程为x²-

y2

3

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的标准方程及图象”。

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