已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．（1）若a=1，求b的值；（2）用a表示b，并求b的最大-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知定义在正实数集上的函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=

3

x

，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
∴

1

2

x-02+2x0=3lnx0+b

x0+2=

3

x0

，
由x₀+2=

3

x0

得x₀=1或x₀=-3（舍去），即有b=

5

2

．
（2）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1

2

x

20

+2ax0=3a2lnx0+b

x0+2a=

3a2

x0

由x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna．
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）为增函数，在（e

1

3

，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
故b的最大值为

3

2

e

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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