已知f(x)=1x-1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；（3）求函数f（x）的反函数f-1（x）；（4）若对任意满足x1+x2=m的正实数x1、x2，不等式f-1（x1）f-1（x2）-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=1x-1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知f(x)=

1

x

-1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（4）若对任意满足x₁+x₂=m的正实数x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

1

x

-1≥0得定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x2)-f(x1)=

1

x2

-1

-

1

x1

-1

=

x1-x2

x2x1

1

x2

-1

+

1

x1

-1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．这就是说函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=

1

x

-1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化简得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
该关于x₁的不等式对于一切（0，m）内的x₁恒成立．
所以(

m

2

)2-m?

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=1x-1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并用定义证明函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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