已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意x都成立（1）求f（x）的解析式及定义域（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定义域
（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？

试题来源：山东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=

b

x-c

，
由f（1-x）=-f（x+1），得

b

1-x-c

=-

b

x+1-c

，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=

b

2-1

，解得b=-1，
∴f（x）=

-1

x-1

=

1

1-x

，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定义域为{x|x≠1}．
（2）f（x）的单调区间为（-∞，1），（1，+∞）且都为增区间，
证明：当x∈（-∞，1）时，设x₁＜x₂＜1，
则1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

1-x1

-

1

1-x2

=

x1-x2

(1-x1)(1-x2)

，
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增．同理f（x）在（1，+∞）上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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