附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常数函数．（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]x；（Ⅲ）设-数学试题及答案

1、试题题目：附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

=[f（x）]^-1 可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]^m，m为正整数．
f（1）=f（

1

n

+

1

n

+…+

1

n

）=[f（

1

n

）]ⁿ，f（

1

n

）=[f(1)]

1

n

，n为正整数．
设x=

m

n

，m、n为整数．
f（x）=f（

m

n

）=[f(1)]

m

n

=[f（x）]^x
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x₁、x₂、x₃、…
使得x=x₁+x₂+x₃+…
∵f（x+y）=f（x）?f（y）
所以，f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1?a^^x_2?a^x₃?…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：