已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．（1）求函数g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，
要使g（x）有意义，则

x＞0

m-x＞2

，
那么g（x）的定义域为{x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=ln

x

m-x

由g'（x）＞0，得

x

m-x

＞1，
解得：

m

2

＜x＜m
由g'（x）＜0
得：0＜

x

m-x

＜1
解得：0＜x＜

m

2

∴g（x）在[

m

2

，m)上为增函数，
在(0，

m

2

}上为减函数
（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
则g（x）=f（x）+f（a+b-x）
则g（x）在[

a+b

2

，a+b）上为增函数，
在(0，

a+b

2

]上为减函数．
∴g（x）的最小值为：
g（

a+b

2

）=f（

a+b

2

）+f（a+b-

a+b

2

）=2f（

a+b

2

）
=（a+b）ln

a+b

2

=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（

a+b

2

）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．（1）求函数g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：