如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG=

1

2

FH，求直线l的方程；
（3）设曲线E的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
（ⅰ）设W（x₀，y₀），证明：

x

20

2

+

y

20

＜1；
（ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵NP为AM的中垂线
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2

2

∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=2

2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴方程为

x2

2

+y2=1
（2）当λ=

1

2

时，即G为FH中点时，设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴

x2=2x1

y2=2(y1-1)

，代入椭圆得y2=

5×

1

2

-3

4×

1

2

=-

1

4

，
∴x22=

15

8

∴x2=±

30

4

∴y=±

3

30

10

x+2
（3）（i）∵由过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂为直径的圆上，F₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴

x02

2

+y02＜x02+y02=1
（ii）设QS的方程为y=k（x+1）（当k存在且不为0时）
代入

x2

2

+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=

-4k2

1+2k2

，x3x4=

2k2-2

1+2k2

，
∴|QS|=

1+k2

|x3-x4|=2

2

1+k2

1+2k2

，
∵QS⊥RT
∴KRT=-

1

k

，同理，|RT|=2

2

?

k2+1

k2+2

∴S=

1

2

RT?QS=4?

(1+k2)2

(1+2k2)(k22)

≥4?

(1+k2)

(

1+2k2+k2+2

2

)2

=

16

9

（当且仅当k²=1时，取等号）
当k不存在或k=0时，S=

2

∵

16

9

＞

2

∴Smin=

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：