设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f(x)=4x-ax2+1．（1）求f（α）、f（β）的值；（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数；（3）当α为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值-数学试题及答案

1、试题题目：设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f(x)=4x-ax2+1．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设关于x的方程2x²-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f(x)=

4x-a

x2+1

．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数；
（3）当α为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(α)=

-8

a2+16-a

，f(β)=

8

a2+16+a

，f(α)?f(β)=-4．
（2）设Φ（x）=2x²-ax-2，则当a＜x＜β时，Φ（x）＜0.f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-2x(4x-a)

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax+2)

(x2+1)2

=-

2Φ(x)

(x2+1)2

＞0
∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．
（3）函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）?f（β）|=4，
∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数f(x)=4x-ax2+1．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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