已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0).（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0).（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx (a≠0).
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函数，
∵h′(x)=

1

x

+2x-b
∴

1

x

+2x-b≥0即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有

1

x

+2x≥2

2

.∴b的取值范围为(-∞，2

2

].（7分）
（Ⅱ）设t=e^x，则函数化为φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵F(t)=(t+

b

2

)2-

b2

4

.
∴当-

b

2

≤1即-2≤b≤2

2

时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；
当1＜-

b

2

＜2即-4＜b＜-2时，[φ(x)]min=F(-

b

2

)=-

b2

4

；
当-

b

2

≥2即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；
∴[φ(x)]min=

b+1 x∈[-2，2

2

]

-

b2

4

x∈(-4，-2)

2b+4 x∈(-∞，-4]

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0).（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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