已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-kx2+1的定义域为[α，β]．（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．（Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R-数学试题及答案

1、试题题目：已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-kx..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知α，β是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．
（Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有g(k)≤a?

1+k2

成立，
求实数a 的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证一：设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，
∴4(

x

21

+

x

22

)-4t(x1+x2)-2≤0， ∴2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0
则f(x2)-f(x1)=

2x2-t

x

22

+1

-

2x1-t

x

21

+1

=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

(

x

22

+1)(

x

21

+1)

又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+

1

2

＞0 ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数． …．…．（6分）
证二：f′(x)=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，x∈[

k-

k2+1

2

，

k+

k2+1

2

]
易知：当x∈[α，β]时，4x²-4kx-1≤0，∴-2x2+2kx+2≥

3

2

∴f′(x)≥0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
（Ⅱ）g(k)=f(β)-f(α)=

k2+1

(16k2+40)

16k2+25

≤a?

1+k2

恒成立．a≥

16k2+40

16k2+25

=1+

15

16k2+25

，考虑

15

16k2+25

的最大值为

3

5

，∴a≥

8

5

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=2x-kx..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：