设函数f（x）=axn（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=axn（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹+b，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，
可得f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′（x）=-（n+1）xn（x-

n

n+1

），令f'（x）=0，得x=

n

n+1

当x∈（0，

n

n+1

），f′（x）＞0，当x∈（

n

n+1

，+∞），f′（x）＜0，
故函数f（x）在（0，

n

n+1

）上单调递增；在（

n

n+1

，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值为f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=axn（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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