已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]．

试题来源：北京期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax²+bx 满足条件 f（1﹣x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．
所以﹣

=1，即b=﹣2a．
因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，
即ax²﹣（2a+1）x=0有等根．所以△=（2a+1）2=0．
即a=﹣

，b=1．所以f （x）=﹣

x²+x．
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣

x²+x=3x的两根．解得m=﹣4，n=0；
②当m≤1≤ n时，3n=

，解得n=

．不符合题意；
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣

m²+m=3n，﹣

n²+n=3m．
相减得﹣

（m²﹣n²）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因为m≠n，所以﹣

（m+n）+1=﹣3．所以m+n=8．
将n= 8﹣m代入﹣

m²+m=3n，得﹣

m²+m=3（8﹣m）．
但此方程无解．
m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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