已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数）；l2：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：y=﹣t²+8t（其中0≦t≦2．t为常数）；l₂：x=2．若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：福建省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则

，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x²+8x
（Ⅱ）由

得x²﹣8x﹣t（t﹣8）=0，
∴x₁=t，x₂=8﹣t，∵0≦t≦2，
∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t²+8t）由定积分的几何意义知：

=

（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x²﹣8x+6lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则
函数H（x）=x²﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴

∴x=1或x=3时，H'（x）=0
当x∈（0，1）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数,
当x∈（1，3）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数
∴H（x）极大值为H（1）=m﹣7；H（x）极小值为
H（3）=m+6ln3﹣15
又因为当x→0时，H（x）→﹣∞；
当x→+∞时，H（x）→+∞
所以要使Η（x）=0有且仅有两个不同的正根
，必须且只须

即

，
∴m=7或m=15﹣6ln3．
∴当m=7或m=15﹣6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，直线l1：y=﹣t2+8t（其中0≦t≦2．t为常数..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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