设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，π2)，若b=a?cos（A+B）．（1）求证：tanB=tanA2tan2A+1；（2）当tanB取最大值时，求cotC的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，π2)，若b=a?..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，

π

2

)，若b=a?cos（A+B）．
（1）求证：tanB=

tanA

2tan2A+1

；
（2）当tanB取最大值时，求cotC的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由正弦定理，sinB=sinA?（cosAcosB-sinAsinB）=sinA?cosA?cosB-sin²AsinB?（1+sin²A）sinB=sinA?cosAcosB?tanB=

sinA?cosA

1+sin2A

=

sinAcosA

2sin2A+cos2A

=

tanA

2tan2A+1

（2）tanB=

1

2tanA+

1

tanA

≤

1

2

(∵A∈(0，

π

2

))
当且仅当2tanA=

1

tanA

即tanA=

2

时，tanB的最大值

2

4

此时，tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2

+

2

4

1-

2

?

2

4

=

2

∵tan(A+B)=-tanC?tanC=-

2

∴cotC=-

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，π2)，若b=a?..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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