已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离（1）求点M的轨迹方程（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|（3）设过点G（0，4）的直线n交-数学试题及答案

1、试题题目：已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离
（1）求点M的轨迹方程
（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|
（3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），O为坐标原点．证明：OC⊥OD．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两点间的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）点M到点F的距离是|MF|=

x2+(y-1)2

，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|
根据题意，得x²+（y-1）²=（y+1）²
x²+y²-2y+1=y²+2y+1
即y=

x2

4

∴点M的轨迹方程是y=

x2

4

；
（2）∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为

3

∵F（0，1），∴直线m的方程为：y=

3

x+1
与抛物线方程联立

y=

x2

4

y=

3

x+1

消去y可得，

x2

4

-

3

x-1=0
∴x₁=2

3

或x2=-

2

3

∴y₁=3或y2=

1

3

∴A(2

3

，3)，B(-

2

3

，

1

3

)
∴|AB|=

(2

3

+

2

3

)2+(3-

1

3

)2

=

16

3

（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程，得

x2

4

=kx+4
即x²-4kx-16=0
∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16
∵OC 的斜率是

y1

x1

，OD的斜率是

y2

x2

∴

y1

x1

×

y2

x2

=

1

4

x

21

×

1

4

x

22

x1x2

=

x1x2

16

=-1
∴OC⊥OD

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离..”的主要目的是检查您对于考点“高中两点间的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两点间的距离”。

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