已知函数y1=x，y2=12x2+12．（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y1、y2的值；（Ⅱ）说明：对于自变量x的同一个值，均有y1≤y2成立；（Ⅲ）是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y1=x，y2=12x2+12．（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y1、y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-11 07:30:00

试题原文

已知函数y₁=x，y₂=

1

2

x²+

1

2

．
（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y₁、y₂的值；
（Ⅱ）说明：对于自变量x的同一个值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c同时满足下列两个条件：
①当x=-1时，函数值y₁≤y₃≤y₂； ②对于任意的实数x的同一个值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出满足条件的函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

试题来源：红桥区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x=1时，y₁=1，y₂=1；

（2）y1-y2=x-(

1

2

x2+

1

2

)
=-

1

2

x2+x-

1

2

=-

1

2

(x2-2x+1)
=-

1

2

(x-1)2≤0，
∴y₁≤y₂；

（3）假设存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
当x=-1时，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
当x=1时，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=

1

2

，
∴y3=ax2+(a+c)x+c，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得

a＞0

(a+c-1)2-4ac≤0

，即

a＞0

(a-c)2-2(a+c)+1≤0

①
若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0
得

a＜

1

2

(a+c)2-4(a-

1

2

)(c-

1

2

)≤0

，即

a＜

1

2

(a-c)2+2(a+c)-1≤0

由不等式①、②得：0＜a＜

1

2

，（a-c）²≤0，a=c=

1

4

，
∴满足条件的函数解析式为y3=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y1=x，y2=12x2+12．（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y1、y..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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