本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n．★（参考公式1+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6）求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．-数学试题及答案

1、试题题目：本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-15 07:30:00

试题原文

本题满分16分）两个数列{a_n}，{b_n}，满足bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

．★（参考公式1+22+32+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

）
求证：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：综合法与分析法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

，∴b_n+1=

a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an

1+2+3+…+n+(n+1)

，
∴

n(n+1)

2

b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n ①，

(n+1)(n+2)

2

b_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1．②
②减去①可得

(n+1)(n+2)

2

b_n+1-

n(n+1)

2

b_n=（n+1）a_n+1．
两边同时除以n+1可得

n+2

2

b_n+1-

n

2

b_n=a_n+1③，
∴

n+1

2

b_n-

n-1

2

b_n-1=a_n ④．
③减去④可得 a_n+1-a_n=（

n+2

2

b_n+1-

n+1

2

b_n ）-（

n

2

b_n-

n-1

2

b_n-1 ）
=

n

2

b_n+1+b_n+1-

n

2

b_n-

1

2

b_n-

n

2

b_n+

n

2

b_n-1-

1

2

b_n-1
=

n

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n-b_n-1）-

n

2

（b_n-b_n-1）
=

n+1

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n+1-b_n ）-

n-1

2

（b_n-b_n-1）．
由于{b_n}为等差数列的充要条件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常数d，
此时a_n+1-a_n=

n+1

2

d+

1

2

d-

n-1

2

d=

3

2

d，是个常数．
故：{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中综合法与分析法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中综合法与分析法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：