已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为

3

，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

试题来源：西城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），
由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）
因为点F到直线l的距离为

3

，
所以

|3k|

1+k2

=

3

，…（3分）
解得k=±

2

，所以直线l的斜率为±

2

．…（5分）
（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为AB不垂直于x轴，
则直线MN的斜率为

y0

x0-4

，
直线AB的斜率为

4-x0

y0

，…（7分）
直线AB的方程为y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（8分）
联立方程

y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)

y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

20

+x0(x0-4)=0，…（10分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（11分）
因为N为AB中点，
所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（13分）
所以x₀=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：