已知直线l：y=kx+b是椭圆C：x24+y2=1的一条切线，F1，F2为左右焦点．（1）过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|?|F2M|的值；（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=kx+b是椭圆C：x24+y2=1的一条切线，F1，F2为左右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=kx+b是椭圆C：

x2

4

+y2=1的一条切线，F₁，F₂为左右焦点．
（1）过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|?|F₂M|的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时直线l的斜率．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）联立方程

y=kx+b

x2

4

+y2=1

得（1+4k²）x²+kbx+4b²-4=0，----------（2分）
依题意，△=0得b²=4k²+1，----------------------------（4分）
∵F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
|F₁M|?|F₂M|=

|

3

k+b|

k2+1

?

|-

3

k+b|

k2+1

=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1-------------（6分）
（2）∵A（-

b

k

，0），B（0，b），
∴|AB|=

b2

k2

+b2

=

1

k2

+4k2+5

≥3----（9分）

当且仅当

1

k2

=4k²，即k=±

2

时取等号，
∴|AB|的最小值为3，此时直线l的斜率为±

2

．--------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=kx+b是椭圆C：x24+y2=1的一条切线，F1，F2为左右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

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