已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；（2）设an=nf(n)&(n∈N+，求证：a1+a2+…+an＜2；（3）设bn=nf(n+1)f(n)&(n∈N+)，Sn=b1+b2+…-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=

1

2

．
（1）当x∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)

&(n∈N+

，求证：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=

nf(n+1)

f(n)

&(n∈N+)，Sn=b1

+b2+…+bn，求S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题设得：f(n+1)=f(n)?f(1)=

1

2

f(n)．
∴数列{f（n）}是以 f(1)=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
f(n)=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．（4分）

（2）设T_n=a₁+a₂+…+a_n
∵an=n?f(n)=n?(

1

2

)n（n∈N^*）．
∴Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n

1

2

Tn
=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1
两式相减得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1

2

×(1-

1

2n

)

1-

1

2

-n×(

1

2

)n+1=1-

n+2

2n+1

．
∴Tn=2-

n+2

2n

＜2．（10分）
（3）∵bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n?(

1

2

)n+1

(

1

2

)n

=

1

2

n，
∴Sn=

1

2

(1+2+3+…+n)
=

1

2

×

n

2

(n+1)
=

n(n+1)

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：