已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n∈N*．（1）求a2，a3，a4，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=a2na2n-1，Sn=b1+b2+…+bn，求证：Sn≤n+53．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n∈N*．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

a2n

a2n-1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n≤n+

5

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
∵a_n+1=

an+1 (n=2m-1，m∈N+)

2an(n=2m，m∈N+)

，∴

a2m+1=2a2m

a2m=a2m-1+1

∴a_2m+1=2a_2m-1+2，∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），∴

a2m+1+2

a2m-1+2

=2
∴数列{a_2m-1+2}是公比为2的等比数列，∴a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1，
∴a_2m-1=-2+3?2^m-1（m∈N₊），a_2m=

1

2

a_2m+1=-1+3?2^m-1（m∈N₊），
∴a_n=

-2+3?2

n+1

2

-1

-1+3?2

n

2

-1

=

-2+3?2

n+1

2

-1(n为奇数)

-1+3?2

n

2

-1 (n为偶数)

=

-2+3?2

n-1

2

(n为奇数)

-1+3?2

n-2

2

(n为偶数)

．
（2）b_n=

-1+3?2n-1

-2+3?2n-1

=1+

1

-2+3?2n-1

=1+

1

2(-1+3?2n-2)

，
①当n=1时，S₁=b₁=2≤1+

5

3

，不等式成立；
②当n≥2时，-1+3?2^n-2≥2，∴0＜

1

-1+3?2n-2

＜1，
∵0＜

1

-1+3?2n-2

＜

1+1

(-1+3?2n-2)+1

=

2

3?2n-2

∴

1

2(-1+3?2n-2)

＜

1

3?2n-2

∴b_n＜1+

1

3?2n-2

=1+

4

3?2n

∴S_n＜2+（1+

4

3?22

）+（1+

4

3?23

）+…+（1+

4

3?2n

）
=n+1+

4

3

×

1

4

1-

1

2

（1-

1

2n-1

）=n+1+

2

3

（1-

1

2n-1

）
=n+

5

3

-

4

3?2n

＜n+

5

3

由①②知：S_n≤n+

5

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n∈N*．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：