设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b2+c2的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有

f(-2)≥0

f(2)≥0

-2≤

b

2

≤2

即

4-2b+c≥0

4+2b+c≥0

-4≤b≤4

消去c，解出

b≤-

4

5

b≤-4

-4≤b≤4

，
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

，
∴b²+c²在[-5，-4]上单调递减
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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