已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an2+Sn?an，若数列{bn}为等比数列，求a的值；（Ⅲ）设cn=logaa2n-1，求数列{a-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a≠0，a≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n?a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）设c_n=log_aa_2n-1，求数列{a_2n?c_n}的前n项和T_n．

试题来源：天津模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵S_n=a（S_n-a_n+1）
∴S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1=a（S_n-a_n+1-S_n-1+a_n-1-1）（n≥2）
即a_n=a[（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1]=a?a_n-1
∴

an

an-1

=a（n≥2）
∵S₁=a（s₁-a₁+1）
∴a₁=a
∴数列{a_n}是以a为首项以a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（II）∵S_n=a（S_n-aⁿ+1）
∴S_n=a×

1-an

1-a

∴b_n=a_n²+S_n?a_n=an(an+

a(1-an)

1-a

）
∵b_n为等比数列∴b₂²=b₁b₃
∴a4[a2+

a(1-a2)

1-a

] 2=2a²?a³[a3+

a(1-a3)

1-a

]
∵a≠0，a≠1
解可得a=

1

2

（III）∵C_n=log_aa_2n-1=2n-1，a_2n?C_n=（2n-1）?a²ⁿ
∴T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ
a²T_n=a⁴+3a⁶+…+（2n-3）a²ⁿ+（2n-1）?a²ⁿ⁺²
两式相减可得，（1-a²）T_n=a²+2（a⁴+a⁶+…+a²ⁿ）-（2n-1）?a²ⁿ⁺²
=a2+

2a4(1-a2n-2)

1-a2

-(2n-1)?a2n+2

∴T_n=

a2(1+a2)-(2n+1)?a2n+2+(2n+1)?a2n+4

(1-a2) 2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a≠0，a≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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