已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．（Ⅰ）求-数学试题及答案

1、试题题目：已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=

，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

试题来源：四川省同步题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）设P（x，y），则

化简得x²﹣

=1（y≠0）；
（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）
与双曲线x²﹣

=1联立消去y得
（3﹣k²）x²+4k²x﹣（4k²+3）=0
由题意知3﹣k²≠0且△＞0
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

y₁y₂=k²（x₁﹣2）（x₂﹣2）=k²[x₁x₂﹣2（x₁+x₂）+4]=k²（

+4）=

因为x₁、x₂≠﹣1
所以直线AB的方程为y=

（x+1）
因此M点的坐标为（

）

，
同理可得

因此

=

=0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）
AB的方程为y=x+1，
因此M点的坐标为（

），

同理可得

因此

=0
综上

=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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