如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，与底面ABCD成300角．若AE⊥PD，E为垂足，PD与底面成30°角．（1）求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成的角-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，与底面ABCD成30⁰角．若AE⊥PD，E为垂足，PD与底面成30°角．
（1）求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成的角的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

为了计算方便不妨设a=1．
（1）证明：根据题意可得：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2

3

)

AB

?

PD

=(1，0，0)?(0，2，-

2

3

)=0
又

AE

?

PD

=0∴

AB

⊥

PD

，

AE

⊥

PD

所以

PD

⊥面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，
∴∠PDA=30°
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=AD?sin30°=1，∠EAF=60°
AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又 C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
则 COSθ=

AE

?

CD

|

AE

||

CD

|

=

2

4

∴AE与CD所成角的余弦值为

2

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系”。

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