已知数列{an}的首项a1＞0，an+1=3an2an+1（Ⅰ）若a1=35，请直接写出a2，a3的值；（Ⅱ）若a1=35，求证：{1an-1}是等比数列并求出{an}的通项公式；（Ⅲ）若an+1＞an对一切n∈N+都成立，求a1-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1＞0，an+1=3an2an+1（Ⅰ）若a1=35..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

（Ⅰ）若a1=

3

5

，请直接写出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若a1=

3

5

，求证：{

1

an

-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，∴a2=

3a1

2a1+1

=

9

11

，a，3=

3a2

2a2+1

=

27

29

…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意知a_n＞0，

1

an+1

=

2an+1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

2

3

…（4分）
所以数列{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列…（5分）
∴

1

an

-1=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1

an

-1=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1即

1

an

=(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1…（9分）
由a₁＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，故a_n+1＞a_n，得

1

an+1

＜

1

an

…（11分）
即(

1

a1

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

a1

-1)(

1

3

)n-1+1得

1

a1

-1＞0，…（13分）
又a₁＞0，则0＜a₁＜1…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1＞0，an+1=3an2an+1（Ⅰ）若a1=35..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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