已知两数列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），满足a1=2，b1=32，且an+1=12(an+bnan)bn+1=12(bn+1bn)(n∈N∈+)（I）求证：an＞bn（II）求证：数列{an}的单调递减且an+1＜1+12n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知两数列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），满足a1=2，b1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知两数列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），满足a1=2，b1=

3

2，

且

an+1=

1

2

(an+

bn

an

)

bn+1=

1

2

(bn+

1

bn

)

(n∈N∈+)
（I）求证：a_n＞b_n
（II）求证：数列{a_n}的单调递减且an+1＜1+

1

2n

．

试题来源：大连一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）先证b_n＞1．∵b_n＞0，b_n≠1，∴bn+1=

1

2

(bn+

1

bn

)＞

1

2

×2

bn×

1

bn

=1，又b1=

3

2

＞1，∴b_n＞1．
再证a_n＞b_n．①a1=2，b1=

3

2

，a1＞b1＞1；
②假设m=k时命题成立，即a_k＞b_k＞1，
则a_k+1-b_k+1=

1

2

(ak+

bk

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)＞

1

2

(ak+

1

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)=

1

2

(ak+bk)(1-

1

akbk

)＞0．
∴a_k+1＞b_k+1
所以n+k+1时命题也成立．
综合①②可得a_k＞b_k．
（II）a_n+1-a_n=

1

2

(an+

bn

an

)-an=

1

2

(

bn

an

-an)，
∵b_n＜a_n，∴

bn

an

＜1，a_n＞1，∴a_n+1-a_n＜0．
故数列{a_n}单调递减．
∵an+1=

1

2

(an+

bn

an

)＜

1

2

(an+1)，
∴an+1-1＜

1

2

(an-1)＜…＜

1

2n

(a1-1)．
又a₁-1=1，∴an+1-1＜

1

2n

，
即an+1＜1+

1

2n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两数列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），满足a1=2，b1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：