已知函数f（x）=12x2+32x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=an2n-1，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）令cn=ana-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+32x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令bn=

an

2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

试题来源：梅州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，
∴当n=1时，a1=S1=

1

2

×12+

3

2

×1=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1．
当n=1时，也适合上式，
因此an=n+1(n∈N*)．
（2）由（1）可得：bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

．
∴T_n=

2

20

+

3

21

+

4

22

+…+

n

2n-2

+

n+1

2n-1

，

1

2

Tn=1+

3

22

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

，
两式相减得

1

2

Tn=2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=1+

1×(1-

1

2n

)

1-

1

2

-

n+1

2n

=3-

1

2n-1

-

n+1

2n

∴Tn=6-

n+3

2n-1

．
（3）证明：由c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2

n+1

n+2

?

n+2

n+1

=2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
又c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+32x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：