已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f(1n)+f(2-数学试题及答案

1、试题题目：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

2x

1-2x

，x≠

1

2

-1，x=

1

2

的图象上的任意两点，点M在直线x=

1

2

上，且

AM

=

MB

．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，设an=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积b_i?b_j（1≤i≤j≤n）的和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据点M在直线x=

1

2

上，设M(

1

2

，yM)，则

AM

=(

1

2

-x1，yM-y1)，

MB

=(x2-

1

2

，y2-yM)，
∵

AM

=

MB

，∴x₁+x₂=1．
①当x1=

1

2

时，x₂=

1

2

，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠

1

2

时，x₂≠

1

2

，y1+y2=-2

2x1

1-2x1

+

2x2

1-2x2

=

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

=

2(1-4x1x2)

4x1x2-1

=-2；
综合①②得，y₁+y₂=-2．
（2）由（1）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．
∴f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=-2，k=0，1，2，…，n-1，
∴n≥2时，S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，①S_n=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+f(

n-3

n

)+…+f(

1

n

)，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
又n=1时，S₁=0满足上式，∴S_n=1-n．
∴an=2Sn=21-n，∴T_n=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1=2-

2

2n

．
∵

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

，∴

2(Tm-c)-(Tm+1-c)

2(Tm+1-c)

＜0
∴

c-(2Tm-Tm+1)

c-Tm+1

＜0
∵Tm+1=2-

1

2m

，∴2Tm-Tm+1=4-

4

2m

-2+

1

2m

=2-

3

2m

，
∴

1

2

≤2-

3

2m

＜c＜2-

1

2m

＜2，c，m为正整数，∴c=1，
当c=1时，

2-

3

2m

＜1

2-

1

2m

＞1

，∴1＜2^m＜3，∴m=1．
（3）bn=31-Sn=3ⁿ，bibj=3i+j，(1≤i≤j≤n)．
将所得的积排成如下矩阵：A=

31+1	31+2	31+3	…	31+n
	32+2	32+3	…	32+n
		33+3	…	33+n
			…	…
				3n+n

，设矩阵A的各项和为S．

在矩阵的左下方补上相应的数可得B=

31+1	31+2	31+3	…	31+n
32+1	32+2	32+3	…	32+n
33+1	33+2	33+3	…	33+n
…	…	…	…	…
3n+1	3n+2	3n+3	…	3n+n

矩阵B中第一行的各数和S1=32+33+…+31+n=

1

2

(3n+2-9)，
矩阵B中第二行的各数和S2=33+34+…+32+n=

3

2

(3n+2-9)，
…
矩阵B中第n行的各数和Sn=3n+1+3n+2+…+3n+n=

3n-1

2

(3n+2-9)，
从而矩阵B中的所有数之和为S1+S2+…+Sn=

9

4

(3n-1)2．
所以S=

1

2

[

9

4

(3n-1)2-(32+34+…+32n)]=

9×32n-36×3n+27

16

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：